Diese Lektion präsentiert einen vollständigen Beweis der Ableitung der Exponentialfunktion \( a^x \), wobei \( a > 0 \) und \( a \neq 1 \) ist. Wir leiten außerdem die Formel für die zusammengesetzte Exponentialfunktion \( a^{u(x)} \) mithilfe der Kettenregel her und stellen durchgerechnete Beispiele bereit.
Beweis der Ableitung von \( a^x \)
Sei:
\[ y = a^x, \qquad a > 0, \; a \neq 1 \]Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten:
\[ \ln y = \ln(a^x) \]Unter Verwendung der Logarithmusidentität \( \ln(a^x) = x \ln a \) erhalten wir:
\[ \ln y = x \ln a \]Differenzieren Sie beide Seiten nach \( x \):
\[ \frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{d}{dx}(x \ln a) \]Wenden Sie die Kettenregel auf die linke Seite an:
\[ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln a \]Multiplizieren Sie beide Seiten mit \( y \):
\[ \frac{dy}{dx} = y \ln a \]Setzen Sie \( y = a^x \) ein:
Ableitung der zusammengesetzten Funktion \( y = a^{u(x)} \)
Sei \( u = u(x) \). Nach der Kettenregel:
\[ \frac{d}{dx}\left(a^{u(x)}\right) = \frac{d(a^u)}{du} \frac{du}{dx} \]Unter Verwendung des vorherigen Ergebnisses:
\[ \frac{d(a^u)}{du} = (\ln a)a^u \]Daher:
Beispiele mit Lösungen
Durchgerechnete Beispiele: Ableiten zusammengesetzter Exponentialfunktionen
Finden Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:
- \( f(x) = 2^{-x^4+5x-4} \)
- \( g(x) = 3^{\sqrt{x^4+2x}} \)
- \( h(x) = 5^{\frac{2x}{3x+2}} \)
Lösungen:
-
Sei \( u(x) = -x^4 + 5x - 4 \). Dann ist \( \frac{du}{dx} = -4x^3 + 5 \).
Anwendung der Formel: \[ f'(x) = (\ln 2)\,2^{-x^4+5x-4}(-4x^3+5) \] -
Sei \( u(x) = \sqrt{x^4+2x} \). Dann ist \( \frac{du}{dx} = \frac{4x^3+2}{2\sqrt{x^4+2x}} = \frac{2x^3+1}{\sqrt{x^4+2x}} \).
Anwendung der Formel: \[ g'(x) = (\ln 3)\,3^{\sqrt{x^4+2x}}\frac{2x^3+1}{\sqrt{x^4+2x}} \] - Sei \( u(x) = \frac{2x}{3x+2} \). Unter Verwendung der Quotientenregel: \[ \frac{du}{dx} = \frac{2(3x+2) - 2x(3)}{(3x+2)^2} = \frac{6x+4-6x}{(3x+2)^2} = \frac{4}{(3x+2)^2} \] Anwendung der Formel: \[ h'(x) = (\ln 5)\,5^{\frac{2x}{3x+2}}\frac{4}{(3x+2)^2} \]