Beweis der Ableitung der Exponentialfunktion \( a^x \)

Diese Lektion präsentiert einen vollständigen Beweis der Ableitung der Exponentialfunktion \( a^x \), wobei \( a>0 \) und \( a\neq1 \). Wir leiten auch die Formel für die zusammengesetzte Exponentialfunktion \( a^{u(x)} \) mit der Kettenregel her und geben ausgearbeitete Beispiele.

Beweis der Ableitung von \( a^x \)

Sei

\[ y=a^x , \qquad a>0,\; a\neq1 \]

Bilden Sie den natürlichen Logarithmus beider Seiten:

\[ \ln y=\ln(a^x) \]

Mit der logarithmischen Identität \( \ln(a^x)=x\ln a \) erhalten wir

\[ \ln y=x\ln a \]

Differenzieren Sie beide Seiten nach \( x \):

\[ \frac{d}{dx}(\ln y)=\frac{d}{dx}(x\ln a) \]

Wenden Sie die Kettenregel auf die linke Seite an:

\[ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\ln a \]

Multiplizieren Sie beide Seiten mit \( y \):

\[ \frac{dy}{dx}=y\ln a \]

Setzen Sie \( y=a^x \) ein:

\[ \boxed{\frac{d}{dx}\left(a^x\right)=(\ln a)\,a^x} \]

Ableitung der zusammengesetzten Funktion \( y=a^{u(x)} \)

Sei \( u=u(x) \). Nach der Kettenregel gilt

\[ \frac{d}{dx}\left(a^{u(x)}\right)=\frac{d(a^u)}{du}\frac{du}{dx} \]

Mit dem vorherigen Ergebnis

\[ \frac{d(a^u)}{du}=(\ln a)a^u \]

Daher gilt

\[ \boxed{\frac{d}{dx}\left(a^{u(x)}\right)=(\ln a)\,a^{u(x)}\,\frac{du}{dx}} \]

Beispiel: Ableitung zusammengesetzter Exponentialfunktionen

Bestimmen Sie die Ableitungen:

  1. \( f(x)=2^{-x^4+5x-4} \)
  2. \( g(x)=3^{\sqrt{x^4+2x}} \)
  3. \( h(x)=5^{\frac{2x}{3x+2}} \)

Lösungen

  1. Sei \[ u(x)=-x^4+5x-4 \] \[ \frac{du}{dx}=-4x^3+5 \] \[ f'(x)=(\ln2)\,2^{-x^4+5x-4}(-4x^3+5) \]
  2. Sei \[ u(x)=\sqrt{x^4+2x} \] \[ \frac{du}{dx}=\frac{2x^3+1}{\sqrt{x^4+2x}} \] \[ g'(x)=(\ln3)\,3^{\sqrt{x^4+2x}}\frac{2x^3+1}{\sqrt{x^4+2x}} \]
  3. Sei \[ u(x)=\frac{2x}{3x+2} \] \[ \frac{du}{dx}=\frac{4}{(3x+2)^2} \] \[ h'(x)=(\ln5)\,5^{\frac{2x}{3x+2}}\frac{4}{(3x+2)^2} \]

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